Reglas de conteo ( COMBINATORIA)

1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

2. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

3. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

4. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

5. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería?

6. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

• Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
• Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
• Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

7. El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas Maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?

8. Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y brazalete para una fiesta, ¿cuántas diferentes combinaciones puede llevar?

9. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

10. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

11. ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

12. a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?

CONJUNTOS TEORIA

CONJUNTO
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

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UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

• Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x Î N ; x<60 }
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 } P={ x/x Î N ; X Ï L }
En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

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OPERACIONES CON CONJUNTOS

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UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

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INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

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CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ

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CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.

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COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }

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DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.

CONJUNTOS

CONJUNTOS
1) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:
I) Motocicleta solamente: 5 II) Motocicleta: 38 III) No gustan del automóvil: 9 IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3 V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 VI) No gustan de la bicicleta: 72 VII) Ninguna de las tres cosas: 1 VIII)No gustan de la motocicleta: 61
¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?
¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?
¿A cuántos le gustaban las tres cosas?
¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B. 44 personas no consumían ni A ni B.
¿Cuántas personas consumían A?
¿Cuántas personas consumían B?
¿Cuántas personas consumían B pero no A?
¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?

3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A. 78 personas consumían A pero no B.
a) ¿Qué porcentaje de personas consumía B?
b) ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B?
c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos?
d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos?

4) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que: 16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia Ficción. 17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos. 1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción. 8 alumnos leen sólo cuentos. 4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.
¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción?
¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción?

5) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 126 personas consumían C. 124 personas no consumían A. 36 personas no consumían ni A ni B. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consumían A y C. 40 personas consumían los tres productos. 56 personas no consumían B.
¿Cuántas personas consumían solamente B?
¿Cuántas personas consumían A y B?
¿Cuántas personas consumían solamente A?


PROBABILIDAD
1 Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
P(A)=3/8 P(B)=1/2 P(A INT B)=1/4
Hallar:
1 P(A U B)
2 P(A´)
3 P(B´)
4 P(A´INT B´)
5 P(A´U B´)
6 P(A INT B´)
7 P(B INT A´)

2 Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
P(A´)=2/3 P(A U B)=3/4 P(A INT B)=1/4
Hallar:
1 P(A)
2 P(B)
3 P(A INT B´)
4 P(B INT A´)

3 Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
1La primera bola no se devuelve.

4 Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
1Sea roja.
2Sea verde.
3Sea amarilla.
4No sea roja.
5No sea amarilla.

5 Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
1Con reemplazamiento.
2Sin reemplazamiento.

6 Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

7 En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:
1Sea hombre.
2Sea mujer morena.
3Sea hombre o mujer.

8 Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1La probabilidad de que salga el 7.
2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

MEDIDAS DE DISPERCION

1.Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La desviación media, la varianza y la desviación típica.

2.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

3.Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2
Hallar:
El rango, desviación media y varianza.

4.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
Calcular la desviación media, la varianza y la desviación tipica.

5.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y desviación típica.

6.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
Calcular la desviación media, la varianza y la desviación típica.

7.El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

-Formar la tabla de la distribución.
-Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
-Calcular la desviación media, la varianza y la desviación tipica.
-Hallar la mediana.

8.Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1.60 m y la desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

9. Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5.
Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.
Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

10.La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.
1. Calcular la dispersión del número de asistentes.
2. Calcular el coeficiente de variación.
3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión?

11.A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?