DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION NORMAL
1. Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?
b. Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

2. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.
a. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. b. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

3. Consideremos que el peso de los niños varones españoles en el momento del nacimiento se distribuye normalmente. Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 3,25 kgs y la desviación típica es de 0,82 kgs, ¿cúal es la probabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 kgs?

4. La tabla adjunta muestra la altura en cm de 100 estudiantes. ¿Es razonable suponer que estos resultados proceden de una distribución normal?

xa	xb	xi	fi	xi fi	xi2 fi
155	160	157,5	8	1260	198450
160	165	162,5	14	2275	369687,5
165	170	167,5	22	3685	617237,5
170	175	172,5	28	4830	833175
175	180	177,5	16	2840	504100
180	185	182,5	8	1460	266450
185	190	187,5	4	750	140625
			100	17100	2929725
media					x= 171
desviación típica					s= 7,50

Tipificamos los extremos de cada intervalo y calcular en cada caso la probabilidad de cada intervalo de la tabla dada.

5. Las estaturas de 600 soldados se distribuyen de acuerdo a una distribución normal de media 168 y desviaci´on t´ıpica 8 cm. ¿Cu´antos soldados miden entre 166 y 170 cm?.

6. En una distribución N(22,5), calcula: p(X ≤ 27),p(X ≥ 27),p(X ≥ 125), p(15 ≤
X ≤ 20), p(17 ≤ X ≤ 30).

7. Los pesos de 60 soldados siguen una distribuci´on N(67,5). Calcula la probabilidad de que el
peso sea:
a) mayor de 80 kg.
b) 50 kg. o menos
c) menos de 60 kg.
d) 70 kg.
e) Entre 60 y 70 kg inclusive.

8. Calcular k si:
a) p(Z ≤ k) = 0,8078.
b) p(Z ≥ k) = 0,0028.

9. si X sigue una normal N(6;3) y p(X ≤ k) = 0,9082, calcula k.

10. Calcular k si p(X ≤ k) = 0,6141 y X sigue una N(15,4).

11. De una variable normal N(x; σ) se sabe que p(X ≤ 7) = 0,9772 y p(X ≤ 6,5) = 0,8413. Calcular:
a) x y σ.
b) p(5,65 ≤ X ≤ 6,25)
c) El número k tal que p(X >k) = 0,3

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCION BINOMIAL
1. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar si o no, suponiendo que las personas contestan al azar, hallar:
a. La probabilidad de obtener 5 aciertos
b. La probabilidad de obtener algún acierto
c. La probabilidad de obtener al menos 5 aciertos

2. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado es de 0,3. Hallar la probabilidad de que un grupo de 7 estudiantes matriculados en primer semestre finalice la carrera:
a. ninguno de los 7
b. Finalicen todos
c. Al menos 2
d. Hallar la media y la desviación típica de los que acaban la carrera.

3. Calcule la probabilidad de que una familia que tiene 4 hijos, 3 sean varones

4. La probabilidad de que un alumno de 1° bachillerato repita el curso es de 0,3. elegimos 20 alumnos al azar, Cuál es la probabilidad de que hayan exactamente 4 alumnos repitiendo?

5. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a. Las cinco personas.
b. Al menos tres personas.
c. Exactamente dos personas.

6. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

DISTRIBUCIÓN DE POISSON1. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elije 100 verduras al azar, encuentre la probabilidad de que:
a. Las 4 estén descompuestas.
b. De 1 a 3 estén descompuestas.

2. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil, se encontró que el 0,04 presentan fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que:
a. 4 salgan defectuosos
b. Mas de 5 tengan fuga de aceite
c. de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos
d. determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores defectuosos.

3. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote, Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos, Cual es la probabilidad de que en la muestra:
a. ninguno esté defectuoso
b. Uno salga defectuoso
c. Al menos 2 salgan defectuosos
d. Menos de tres estén con defectos

4. Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligentes ¿ calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

5. La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores , obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.

6. En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.

7. Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular la probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

1. Entre las 20 celdas solares que se presentan en una expresión comercial, 12 son celdas planas y las otras son celdas de concentración. Si una persona que visita la exposición selecciona al azar 6 de las salas solares para revisarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de estas sean planas?

2. Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques provenientes de Madrid por la vía aérea. Si la selección es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando encuentre las probabilidades de que el inspector de aduanas
a. No encuentre ningún embarque con contrabando
b. Encuentre uno de los embarques con contrabando
c. Encuentre dos de los embarques con contrabando
d. Encuentre tres de los embarques con contrabando

3. Un embarque de 200 alarmas contra robo contiene 10 piezas defectuosas. Se selecciona al azar 5 alarmas contra robo para enviarlas a un cliente.
a. Use la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma contra robo defectuosa.
b. Use la aproximación binomial para la distribución hipergeométrica para obtener la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma contra robo defectuosa.
c. Encuentre el error de la aproximación

4. Entre las 12 casas que hay para venta en un fraccionamiento, 9 tienen aire condicionado, si se seleccionan 4 de las casas para un desplegado en un periódico ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de estas tengan aire acondicionado?

5. En una prisión federal, 120 de 300 internos están purgando condenas por delitos contra la salud. Si se selecciona aleatoria mente a 8 de los internos para comparecer ante un comité legislativo ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de los 8 estén purgando condenas por delitos contra la salud?

DIAGRAMA DE ARBOL, TABLA DE CONTINGENCIA

REGLA DE LAPLACE
1. Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

2. En una baraja de 40 cartas, hallar la P (as) y P (copas).

UNION DE SUCESOS
1. Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.

2. Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.

CONDICIONADA
1. Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

2. Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar:

3. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

4. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

5. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

a. Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

b. Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

c. Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

d. Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

6. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

a. Seleccionar tres niños.

b. Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

c. Seleccionar por lo menos un niño.

d. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

7. Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

8. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

a. Probabilidad de que la segunda bola sea verde.

b. Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

9. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a. Juegue sólo al fútbol.

b. Juegue sólo al baloncesto.

c. Practique uno solo de los deportes.

d. No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.

10. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

b. Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

11. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

b. Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

12. Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:

a. Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.

b. Probabilidad de que la bola sea blanca.

13. Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

a. Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

b. Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

14. En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

b. Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

15. Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

a. Con una persona sin gafas.

b. Con una mujer con gafas.

Reglas de conteo ( COMBINATORIA)

1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

2. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

3. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

4. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

5. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta de la portería?

6. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

• Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
• Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
• Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

7. El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas Maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre?

8. Una mujer tiene tres sombreros y cuatro brazaletes. Si piensa usar sombrero y brazalete para una fiesta, ¿cuántas diferentes combinaciones puede llevar?

9. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

10. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

11. ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

12. a.¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?, c. ¿cuántas de las claves del inciso a empiezan por el número dos y terminan por el número tres?

CONJUNTOS TEORIA

CONJUNTO
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común.

En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto.

SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

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UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N={ 1, 2, 3, .... }

• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

• Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x Î N ; x<60 }
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 } P={ x/x Î N ; X Ï L }
En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

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OPERACIONES CON CONJUNTOS

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UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }

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INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
A Ç B = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }

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CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ

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CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces A y B son ajenos.

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COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }

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DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.

CONJUNTOS

CONJUNTOS
1) Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:
I) Motocicleta solamente: 5 II) Motocicleta: 38 III) No gustan del automóvil: 9 IV) Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3 V) Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 VI) No gustan de la bicicleta: 72 VII) Ninguna de las tres cosas: 1 VIII)No gustan de la motocicleta: 61
¿Cuál fue el número de personas entrevistadas?
¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente?
¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?
¿A cuántos le gustaban las tres cosas?
¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

2) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 138 personas consumían A pero no B. 206 personas consumían A y B. 44 personas no consumían ni A ni B.
¿Cuántas personas consumían A?
¿Cuántas personas consumían B?
¿Cuántas personas consumían B pero no A?
¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los dos productos?

3) Una encuesta sobre 500 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de dos productos A y B : 410 personas consumían por lo menos uno de los dos productos. 294 personas consumían A. 78 personas consumían A pero no B.
a) ¿Qué porcentaje de personas consumía B?
b) ¿Qué porcentaje de personas consumía sólo B?
c) ¿Qué porcentaje de personas consumía los dos productos?
d) ¿Qué porcentaje de personas no consumía ninguno de los dos productos?

4) Sobre un grupo de 45 alumnos se sabe que: 16 alumnos leen novelas. 18 alumnos leen ciencia Ficción. 17 alumnos leen cuentos. 3 alumnos leen novelas, ciencia ficción y cuentos. 1 alumno lee sólo cuentos y ciencia ficción. 8 alumnos leen sólo cuentos. 4 alumnos leen sólo novelas y ciencia ficción.
¿Cuántos alumnos leen sólo ciencia ficción?
¿Cuántos alumnos no leen ni novelas, ni cuentos ni ciencia ficción?

5) Una encuesta sobre 200 personas acerca del consumo de tres productos A, B y C reveló los siguientes datos: 126 personas consumían C. 124 personas no consumían A. 36 personas no consumían ni A ni B. 170 personas consumían por lo menos uno de los tres productos. 60 personas consumían A y C. 40 personas consumían los tres productos. 56 personas no consumían B.
¿Cuántas personas consumían solamente B?
¿Cuántas personas consumían A y B?
¿Cuántas personas consumían solamente A?


PROBABILIDAD
1 Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
P(A)=3/8 P(B)=1/2 P(A INT B)=1/4
Hallar:
1 P(A U B)
2 P(A´)
3 P(B´)
4 P(A´INT B´)
5 P(A´U B´)
6 P(A INT B´)
7 P(B INT A´)

2 Sean A y B dos sucesos aleatorios con:
P(A´)=2/3 P(A U B)=3/4 P(A INT B)=1/4
Hallar:
1 P(A)
2 P(B)
3 P(A INT B´)
4 P(B INT A´)

3 Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir el espacio muestral cuando:
1La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
1La primera bola no se devuelve.

4 Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de:
1Sea roja.
2Sea verde.
3Sea amarilla.
4No sea roja.
5No sea amarilla.

5 Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
1Con reemplazamiento.
2Sin reemplazamiento.

6 Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

7 En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:
1Sea hombre.
2Sea mujer morena.
3Sea hombre o mujer.

8 Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
1La probabilidad de que salga el 7.
2La probabilidad de que el número obtenido sea par.
3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

MEDIDAS DE DISPERCION

1.Dadas las series estadísticas:
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.
3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.
Calcular:
La desviación media, la varianza y la desviación típica.

2.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

3.Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35)
fi 3 5 7 4 2
Hallar:
El rango, desviación media y varianza.

4.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
Calcular la desviación media, la varianza y la desviación tipica.

5.Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:
1. Calcular su media y su varianza.
2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y desviación típica.

6.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
Calcular la desviación media, la varianza y la desviación típica.

7.El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

-Formar la tabla de la distribución.
-Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?
-Calcular la desviación media, la varianza y la desviación tipica.
-Hallar la mediana.

8.Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1.60 m y la desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

9. Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5.
Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.
Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

10.La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.
1. Calcular la dispersión del número de asistentes.
2. Calcular el coeficiente de variación.
3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión?

11.A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

MEDIDAS DE CENTRALIZACION

1. Resolver los siguientes cuestinamientos:
Si las notas son iguales, ¿Qué sucede con el promedio?.
Si tuviésemos 5 notas en total y una de ellas es muy baja respecto a las otras cuatro, ¿Cómo influye esta nota en el promedio?.
Si las notas fuesen 10 en total, ¿la nota baja influiría de la misma forma?
Durante una semana de vacaciones la asistencia de jóvenes a una discoteca ha sido la siguiente:
Día Jóvenes
Lunes           57
Martes         72
Miércoles     65
Jueves          89
Viernes       348
Sábado       461
Domingo      49
•¿Cuál es el promedio diario de asistencia?¿Está muy distorsionada esta información?¿Por qué?
•¿El administrador podría confiar en el promedio para abastecer de refrescos a la discoteca diariamente? ¿ y semanalmente?

2. Al calcular el promedio de una muestra con gran número de datos, podemos ahorrar tiempo si tenemos los datos ordenados y calculadas las frecuencias correspondientes.
Ejemplo, los siguientes datos corresponden a los kilómetros recorridos por los ciclistas participantes en una competencia nacional, durante el entrenamiento:
KILÓMETROS RECORRIDOS
750 700 660 660 660 700 750 570 700 800 700 880 800 700 880 480 660 880 780 750 480 480 800 660 750 800 800 700 660 800 660 480 700 570 570 750 480 750 740 660 800 820 750 570 480 700 750 700 800 880 660 820
Organizar la información en la siguiente tabla de frecuencias y calcular promedio.

3. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:
Nº de caries fi ni
0 25 0.25
1 20 0.2
2 x z
3 15 0.15
4 y 0.05
1. Completar la tabla obteniendo los valores de x, y, z.
2. Hacer un diagrama de sectores.
3. Calcular el número medio de caries.

4. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
1. Dibujar el polígono de frecuencias.
2. Calcular la moda, la mediana, la media.

5.En una supuesta investigación estadística se han recogido los siguientes datos acerca de las preferencias televisivas de los jóvenes:

Prefieren: Nº de Jóvenes
Películas 9.000
Informativos Culturales 15.000
Musicales 10.000
Teleseries 38.000
Deportivos 21.000
Otro tipo 7.000
¿Cuál es la moda de la muestra?
¿Tiene sentido calcular la media en la muestra?

6. En un país centroamericano se entrevistaron a 120 estudiantes para averiguar el tipo de baile que preferían. El 35% de los jóvenes eligió el merengue, 30 estudiantes eligieron baile moderno, la octava parte dijo preferir salsa y el resto se inclinó por la cumbia.
¿Cuál es la moda en la encuesta?
Realiza la misma encuesta en tu curso y compara los resultados. ¿La moda es la misma?

7. Para elegir el representante del curso al Centro de alumnos se presentan 4 candidatos:

Candidato ni(votos) Ni
Javier 17 17
Hans 13 30
Dieter 6 36
Gertie 4 40
¿Cuántos estudiantes votaron?
¿Cuál de las medidas de tendencia central (media o moda) representa al estudiante ganador?
¿Cuál es la media entre los estudiantes con mayor y menor cantidad de votos.

8. el restaurante Calico Pizza vende refrescos de tres tamaños: Pequeño mediano y grande. El tamaño pequeño cuesta $0.50(en dolares), el mediano $0.75 y el grande $1.00. Ayer se vendieron 20 pequeños, 50 medianos y 30 grandes. Cual fue el precio medio ponderado por refresco?

9. El metropolitan hospital emplea 200 personas en su cuerpo de enfermeras. De ese personal, 50 son ayudantes de enfermería, 50 son enfermeras prácticas y 100 son enfermer registradas. Las primeras reciben un sueldo de $8(dolares)por hora, las segundas $10 por hora, y las últimas $14 por hora. Cual es el valor medio ponderado del sueldo por hora.

10. El bufet de abogados Andrews y asociados se especializa en el derecho corporativo. cobra un cargo por hora de $100(dolares) por la investigaacion de un caso, uno de $75 por consulta y uno de $200 por la redacción de un informe. la semana pasada uno de los socios dedico 10 horas de consulta con un cliente, 10 horas a la investigación d eun caso y 20 horas a la elavoración de un informe. Cual fue el valor medio ponderado de los servicios legales?

11. Un inversor compra 1800 acciones de la empresa ACME a 13 euros la acción. Más tarde vuelve a comprar 1200 acciones de la misma empresa a 10 euros. Al final vende todas las acciones a 12 euros la acción. ¿Cuál fue el beneficio medio por acción de las operaciones? ¿Cuánto ganó en total?

12. En la empresa A el sueldo medio es de 1900 euros mensuales. El empresario decide aumentar 200 euros a cada empleado. ¿Cuál es el sueldo medio tras el aumento?

13. Pablo y María discuten acerca de sus respectivas habilidades para el cálculo, y deciden comprobar quien halla antes la media de las siguientes alturas: 170, 162, 178, 175, 160, 165, 169, 172, 162 y 165. Pablo, que ganó, hizo lo siguiente:
a) Restó 165 a cada uno de los valores, obteniendo
5, -3, 13, 10, -5, 5, 4, 7, -3 y 0.
b) Calculó la media de los datos anteriores, que era 3'3.
c) Sumó 165 a 3'3 y contestó, relativamente pronto, que la media era 168'3.
Averigua el razonamiento de Pablo.
Habrás observado que si restas a todos los datos una cantidad determinada, la media se reduce en la misma cantidad. ¿Que ocurre cuándo dividimos todos los datos por un mismo número?

14. La media de sueldos de una empresa era de 22560'56 euros anuales durante el año pasado. Este año se le ha subido a todo el personal un 3'2%.¿Cual será la media de sueldos este año?. Supongamos que, por el buen rendimiento, la empresa decide añadir un regalo de 60 euros mensuales a cada trabajador, ¿en qué quedará la media anterior?

15. Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes:
1--7--9--2--5--4--4--3--7--8--4--5--6--7--6--4--3--1--5--9--2--6--4--6--5--2
2--8--3--6--4--5--2--4--3--5--2--4--6--5
Calcula la nota media.

16. En una clase de 25 alumnos hemos preguntado la edad de cada uno, obteniendo estos resultados:
14, 14, 15, 13, 15, 14, 14, 14, 14, 15, 13, 14, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 13, 14, 14, 14, 15, 14
Haz una tabla donde aparezcan las frecuencias absolutas acumuladas y las frecuencias relativas acumuladas. Encuentra la media.